¿Debo agregar la etiqueta H1 en el bloque que es visible solo en dispositivos móviles?

No. Use solo una etiqueta H1 por página.

Si está haciendo una copia de un bloque con diferentes parámetros de visibilidad, el código del bloque permanece en la página y es visible para los rastreadores de los motores de búsqueda. Por eso, asegúrese de que el segundo bloque no tenga la etiqueta H1.